上海交通大学829电磁学和量子力学讲义

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x=rsin θcos ϕ, y =rsin θsin ϕ, z =rcos θ, (1)
r=qx2+y2+z2, θ = arctg√x2+y2
z, ϕ = arctg y
x.(2)
∂
∂x =∂
∂r
∂r
∂x +∂
∂θ
∂θ
∂x +∂
∂ϕ
∂ϕ
∂x
=x
√x2+y2+z2
∂
∂r +
x
z√x2+y2
1 + x2+y2
z2
∂
∂θ +1
1 + y2
x2−y
x2∂
∂ϕ
= sin θcos ϕ∂
∂r +1
r2·rsin θcos ϕ
rsin θ·rcos θ∂
∂θ −rsin θsin ϕ
r2sin2θ
∂
∂ϕ
= sin θcos ϕ∂
∂r +1
rcos θcos ϕ∂
∂θ −1
r
sin ϕ
sin θ
∂
∂ϕ .(3)
∂2
∂x2
= sin θcos ϕ∂
∂r +1
rcos θcos ϕ∂
∂θ −1
r
sin ϕ
sin θ
∂
∂ϕ !
× sin θcos ϕ∂
∂r +1
rcos θcos ϕ∂
∂θ −1
r
sin ϕ
sin θ
∂
∂ϕ !
= sin2θcos2ϕ∂2
∂r2+1
r2cos θcos2ϕ∂
∂θ cos θ∂
∂θ !+1
r2sin2θsin ϕ∂
∂ϕ sin ϕ∂
∂ϕ !
+ sin θcos θcos2ϕ∂
∂r 1
r
∂
∂θ !−sin θcos ϕsin ϕ
sin θ
∂
∂r 1
r
∂
∂ϕ !
+1
rcos θcos2ϕ∂
∂θ sin θ∂
∂r !−1
r2cos θcos ϕsin ϕ∂
∂θ 1
sin θ
∂
∂ϕ !
−1
r
sin ϕ
sin θsin θ∂
∂ϕ cos ϕ∂
∂r !−1
r2
sin ϕ
sin θcos θ∂
∂ϕ cos ϕ∂
∂θ !
1
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