温州大学618数学分析2007年真题

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应用数学
请注意
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请注意 全部答案必须写在答题纸上
全部答案必须写在答题纸上请注意:全部答案必须写在答题纸上，
，全部答案必须写在答题纸上，否则不给分
否则不给分，否则不给分。
。。否则不给分。
１
１
１．
．１．(10
(10．(10 分
(10 分
分)
分)
)) 证明
证明
证明：
：证明：数列
数列：数列
数列{sin } 不收敛
不收敛
n不收敛
不收敛 .
..
.
２
２
２．
．２．(10
(10．(10 分
分(10 分)
分)
)) 已知
已知
已知
已知 f(0) 0
==
=，
，
=，′′
，f′存在
存在
′(0) 存在，
，存在，求极限
求极限，求极限：
：求极限：
：lim
+
++
+
→0
→→
x→xf(x) ．
．．
．
３
３
３．
．３．(15
(15．(15 分
分(15 分)
))分) 计算积分
计算积分
计算积分
ntn
n
t
− −
− −− −
− −
⌠⌠
⌠
计算积分
⌡
⌡⌡
⌡
0
⌠1 (1 )
．．
dt ．．
４
４
４．
．４．(15
(15．(15 分
分(15 分)
分)
)) 已知
已知
已知
已知 f x
′′′′
′′ 连续
连续
′′( ) 连续，
，连续，
，f(0) f(1) 0= =
= =
= = ，
，，
= = ，
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′′( )
′′′′
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，，
，
求证
求证
求证：
：：求证：
2
A
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′( ) , [0,1]
′′
′≤ ∈
≤ ∈≤ ∈
≤ ∈ ．
．．
．
５
５
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(10．(10 分
分(10 分)
分)
)) 设
设
设是以
是以
设f(x)是以 为周期的连续周期函数
为周期的连续周期函数是以T为周期的连续周期函数，
，为周期的连续周期函数，求证
求证，求证：
：：求证：
（
（
（1
（1）
）11）
0 0
x T
x f t dt f t dt
ϕ
( ) ( ) ( )
ϕϕ
）
ϕ
= −
= −= −
= −
∫ ∫
∫ ∫
∫T
x∫
∫ ∫ 也是以
也是以
也是以 为周期的周期函数
为周期的周期函数也是以T为周期的周期函数；
；；为周期的周期函数；
（
（
（2
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1 1
）lim ( ) ( )
x T
f x dx f t dt
x0T0
→+∞
→+∞→+∞
x→+∞ =
==
=
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫ ．
．．
．
６
６
６．
．６．(15
(15．(15 分
分(15 分)
分)
)) 设
设
设在
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，，
+ ∞0，连续
连续
+ ∞ 连续，
，连续，→+∞
→+∞→+∞
x→+∞ = ≠
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，lim ( ) 0 ，
，，= ≠ ，
求证
求证
求证：
：：求证：
of x xdx
+∞
++∞∞
+∞
∫
∫∫
∫( )sin 发散
发散
发散．
．．发散．
７
７
７．
．７．(15
(15．(15 分
分(15 分)
分)
)) 设
设设
设
∞
n=1
∑是收敛的正项级数
是收敛的正项级数
an是收敛的正项级数，
，是收敛的正项级数，并且
并且并且，并且
{ }
an单调下降收敛于零
单调下降收敛于零
单调下降收敛于零．
．．单调下降收敛于零．
证明
证明
证明：
：：
证明： n(anan)
∞
n=1
∑收敛
收敛
−+1收敛，
，
收敛，而且
而且而且
，而且
1 1
(n n )n
n n
n a a a
∞ ∞
= =
−+1=
∑ ∑ ．
．．
．

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