温州大学817高等代数2007年真题
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2007
2007
2007 年研究生
年研究生2007 年研究生入学考试试题
入学考试试题入学考试试题年研究生入学考试试题
考试科目
考试科目
考试科目：
：考试科目： 高等代数
高等代数： 高等代数（
（高等代数（ ）
））（A） 报考学科
报考学科
报考学科、
、报考学科、专业
专业、专业：
：专业：应用数学
应用数学应用数学：应用数学
请注意
请注意
请注意 全部答案必须写在答题纸上
全部答案必须写在答题纸上请注意:全部答案必须写在答题纸上，
，全部答案必须写在答题纸上，否则不给分
否则不给分，否则不给分。
。。否则不给分。
（
（
1 （ 分
分（10 分）
）分）已知
已知）已知
已知 f(1) 1, f(2) 2,= = 求多项式
求多项式
求多项式 除以
除以求多项式 f(x)除以
除以( 1)( 2)x−x−的余式
的余式
的余式。
。。的余式。
（
（
2 （ 分
分（10 分）
）分）证明
证明）证明：
：证明：如果
如果：如果
如果( ( ), ( )) 1, 那么
那么
f x g x =那么
那么( ( ) ( ), ( ) ( )) 1.f x g x f x +g x =
（
（
3 （ 分
分（15 分）
）分）证明
证明）证明：
：：证明：
1 2 3 4
2 2 2 2
1 4
4 4 4 4
1 1 1 1
(j i ).
i j
x x x x
D
4x
1x2x3x4x x
x
1x2x3x4
x
1x2x3x4
≤ < ≤
= = + + + −
( )
∏
（
（
4 （ 分
分（10 分）
）分） 设
设） 设 是
是设 A是 阶非奇异矩阵
阶非奇异矩阵是 n阶非奇异矩阵，
，阶非奇异矩阵， 是
是，
α
是 维列向量
维列向量是 n维列向量，
，维列向量， 为常数
为常数，b为常数。
。为常数。记分块矩阵
记分块矩阵记分块矩阵。记分块矩阵
, ,
| |
E O A
P Q
α
α α
A∗A b
= =
′ ′
−
是
是
A∗是的伴随矩阵
的伴随矩阵是 A的伴随矩阵。（
。（的伴随矩阵。（ ）
）。（1）计算
计算）
计算 并简化
并简化计算 PQ 并简化；（
；（并简化；（ ）
）；（2）证明
证明）
证明 可逆的充要条件是
可逆的充要条件是证明 Q可逆的充要条件是
可逆的充要条件是
α α
′A−1b≠.
（
（
5 （ 分
分（30 分）
）分） 设
设） 设 ，
，设 A， 是
是，B是 阶方阵
阶方阵是 n阶方阵，
，阶方阵，齐次线性方程组
齐次线性方程组，齐次线性方程组 和
和齐次线性方程组 AX=0 和 分别有
分别有和 BX=0 分别有 个线
个线个线分别有 k, m 个线
性无关的解向量
性无关的解向量
性无关的解向量。（
。（性无关的解向量。（ ）
）。（1）证明
证明）
证明 至少有
至少有证明(AB)X=0 至少有 个线性无关的解向量
个线性无关的解向量至少有 max(k. m)个线性无关的解向量；（
；（个线性无关的解向量；（ ）
）；（2）若
若）
若
若k+m>n.
证明
证明
证明 必有非零解
必有非零解证明(A+B)X=0 必有非零解；（
；（必有非零解；（ ）
）；（3）如果
如果）如果 和
和如果 AX=0 和 无公共的非零解向量
无公共的非零解向量和 BX=0 无公共的非零解向量，
，无公共的非零解向量，且
且，且
且k+m=n.
证明
证明
证明 中任一向量可唯一表成
中任一向量可唯一表成
证明 Fn中任一向量可唯一表成
中任一向量可唯一表成
α β γ β γ
分别是
分别是
= + , , 分别是 和
和分别是 AX=0 和 的解向量
的解向量和 BX=0 的解向量。
。。的解向量。
（
（
6 （ 分
分（15 分）
）分）设
设）设
设
α
1
α
2
α
为一线性无关的向
为一线性无关的向
, ,..., n为一线性无关的向量组
量组为一线性无关的向量组，
，量组， 为向量
为向量，
β
为向量。
。为向量。证明
证明。证明：
：证明：要么向量组
要么向量组要么向量组：要么向量组
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