北京科技大学876量子力学2004年真题及答案

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北京科技大学 2004 年硕士学位研究生
入学考试量子力学试题答案
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物理常数：光速： c2.998108ms1；普朗克常数： h6.6261034 Js；玻尔兹曼
常 数 ： kB1.3811023 J/K； 电 子 质 量 ： me9.1091031kg ；碳原子质量：
mC12u2.0071026kg ；电子电荷： e1.6021019 C
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1） 物质波（30 分）：1924 年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、
质子等，也具有波动性，对于具有一定动量 p的自由粒子，满足德布洛意关系：
_____________________________（10 分）；假设电子由静止被 150 伏电压加速，求
加速后电子的的物质波波长：_____________________________（10 分，保留 1位
有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动
性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显
示出波动性。计算 1K时，C60 团簇（由 60 个C原子构成的足球状分子）热运动所
对应的物质波波长：_____________________________（10 分，保留 1位有效数字）。
h
p
解：德布洛意关系（10 分）：
电子物质波波长：
h h h
p2meE2meeV
6.6261034
1.01010 m
29.1091031 1.6021019 150
C60 物质波波长：
h h
2mC60 E3mC60 kBT
6.6261034
1.01010 m
36021026 1.3811023 1
2） 薛定谔方程（40 分）：质量为 m的一个粒子在边长为 a的立方盒子中运动，粒子所
0, 0
,
x
o er
,
s
th
受势能V(x,y,z)由下式给出：
V(x,y,z)
a
;y
0, a
;z
0, a
；（i）
列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数（10 分）；（ii）假设有
两个电子在立方盒子中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出
归一化系统基态波函数（15 分，提示：电子自旋为 1
2，是费米子）； （iii）假设有

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