西北师范大学813量子力学2014年真题答案

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2014
一、
1、设
x
和
P
的对易关系为
ˆ
ˆ ˆ
xp px ik 
，
ˆ
k
是一个算符或普通的数，以
x
，p，
和
k
表 示
x
和
ˆ
p
，
ˆ
k
在 态
中的平均值，令
,x x x p p p 
， 则
2
2 2
( ) ( ) 4
x p
。在经典力学中粒子在运动过程中有自己确定的轨道，在任意时
刻有确定的位置和动量，而在量子力学中由于微观粒子具有波粒二象性，坐标和
动量不能同时测定。当电子处于定态时，它们既不吸收也不辐射能量，只有电子
由一个定态跃迁到另一个定态时才产生辐射的吸收或发射现象。
2、数学性质：复函数，具有单值性、连续性、有限性。
概率密度
2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )x t x t x t x t
 
 
概率流密度
( )
2
i
Jm
 
 
 
3、因为物理可观测量必须是实数，而厄米算符的本征值是实数。
设1 2
, ,... ...
n
 
是 厄 米 算 符
ˆ
F
的本征函数，它们所属的本征值都不相等，
0
k l
k l d
 
 
时，
2 2
2 2
2 2
1
2
2
- ( ) ( ) ( ) ( )
2
) - ( )= ( ) 1
2
) - ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , ) ,
2
=0 =0.
2
=
dx V x x E x
m dx
d
x R x E x
m dx
d
x R x V x x E x V x
m dx
mE
 
 
 
 
 
 
 
 
 
二、
一维定态薛定谔方程为
在阱内（ 体系所满足的定态薛定谔方程为 （ ）
在阱外（ 体系所满足的定态薛定谔方程为 （ ）当 （
由波函数满足的连续性和有限性条件，只有当 才成立，所以有
引入 ，则（
2
2
2
222
2
1
+ =0 (3)
= sin cos , ( ) 0, , 1, 2,3...
2
8
1
( ) sin ( )
2
n
n
dx R
dx
n
A x B x a a n
n
EmR
n
x x R
R R
 
 
 
 
）式简写为
，
它的解为 根据波函数的连续性， 可得
体系的能量为

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