北京师范大学714数学分析1999年真题答案

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1999 年北京师范大学数学分析试题答案
一、1.
n
k
n
k
1
)1ln(
1
与级数
1
)
1
1ln(
1
nnn
同敛散，
1
)
1
1ln(
1
nnn
与
1
2
1
nn
同敛散，
故原级数收敛；
2.
1
1
11
1
1)
11
(
11
n
n
npp
n
pdx
xn
p
n
，在
),0( p
上为正项级数，
1
11
1
1
11
1
1
11 )1(
11
)
)1(
11
()
11
(
n
pp
n
n
npp
n
n
npp nn
dx
nn
dx
xn
收敛，所以，
原级数在
),0( p
一致收敛，
0
1
1
11
0
1
1
0)
11
(lim
11
lim Cdx
xn
p
nn
n
npp
p
n
p
p
二、设
，和
n
n
y
)
1
1ln(
1
考察函数
xx
xg 1
)1ln(
1
)(
，
)1)(1(ln
)1(ln)1(1
)1(ln)1(
1
)(' 22
22
22 xxx
xxx
xxx
xg
x
x
xxh
1
)1ln()(
，
0
1)1(2
212
)('
xx
xx
xh
，则
0
1
)1ln()(
x
x
xxh
0)(' xg
，所以
xx
xg 1
)1ln(
1
)(
在
)1,0(
递增，
2
1
)0()(min gxg
，
1
2ln
1
)1()(max gxg
，
2
1
2ln
1
,
2
1
三、由题懿，
xxx eexfe )')((
，
xt
x
xxt dteexfdte )(
，所以
1)( xf
四 、
1)( 2n
nttttg
， 当
0)
2
1
(,1
1
)(0
nn g
t
t
tgt 时，
，
01)1( ngn
，由连续函数的零点定理，知存在
0)(),1,
2
1
(00 tgt n
，
021)(' 1n
nntttg
，所以只有一个零点，
)(01)(,0)( 11
112
1
nn
n
n
n
n
n
nnnnnnn tgttttttgtg
，
,2,1,
1ntt nn
由单调有界定理，存在极限，极限为 1/2

标签： #真题

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