北京师范大学812专业综合2015年真题及答案（高等代数与解析几何）

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北京师范大学 812（解析几何+高等代数）真题+详解（秘制）

2015 年解析几何部分(65 分)

1.说明下列两直线异面，并求它们的距离及公垂线方程.

5

 z

yx-

和

2zyx- 





解答：两条直线的方向向量分别为

   

2,1,21,4-1 ，，

，线性无关，且分别过点

   

3,3-,22,05 ，，

，

则

     

5-3,33,3-,2-2,05 ，， 

072-

5-33

212

14-1



，因此这两条直线异面.

公垂线的方向向量为

   

1,01-99,09-

212

14-1 ，， 

kji

，任取公垂线上的一点

 

zyx ,,

，则有：

012424

25-

1-01

14-1





z-yx

zyx

，

017-4-

3-32-

1-01

212





zyx

，

于是，











017-4-

0622

zyx

即公垂线方程.

2.已知

zy-β

：



绕

轴旋转，求出旋转曲面，并根据



的值讨论曲面类型.

解答：任取直线

上一点

 

tt ,,



，其离

轴的距离为

222



t

，故所求的旋转曲面的

方程为

22222222



 ztyx

如果

，， 00 



则曲面为一个单叶双曲面.

如果

，， 00 



则曲面为一个圆柱面.

如果

，， 00 



则曲面为一个圆锥面.

如果

，， 00 



则不成曲面.

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