温州大学618数学分析2005年真题

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温州大学 2005 年考研数学分析试题
1、（ 15 分）（1）设
ln(1 ), 0
() 1, 0
x
xx
fx ex
 

，求证：
( ( ))f f x x
.
（2）除上述函数及
yx
，
y x c 
以外，试再给出一个函数使满足
x
，
( ( ))f f x x
.
2、 （15 分）设
()fa
存在，
( ) ( )g x f x
，求证：
（1） 若
( ) 0fa
，则
在点
a
可导.
（2） 若
( ) 0fa
，则
在点
a
可导当且仅当
( ) 0fa
.
3、（ 10 分）设
()fx
在区间开
( , )ab
连续，
( , )
k
x a b
( 1,2, , )kn
，求证：
存在
( , )ab
使
12
2
( ) [ ( ) 2 ( ) ( )]
( 1) n
f f x f x nf x
nn
 
.
4、（ 15 分）设
()fx
在
( , ) 
内连续，并且是单调增加的奇函数，又设
0
( ) (2 ) ( )
x
g x t x f x t dt 
.试判断
的单调性和奇偶性并证明之.
5、（ 15 分）讨论
( , ) 2f x y xy x y  
在点
(0,0)
处的可微性.
6、（ 15 分）设
()fu
非零并且可微，
22
()
y
zf x y
，求证：
2
11z z z
x x y y y

 

.
7、（ 20）（ 1）求
2 2 2
( , , ) 2 5 4f x y z x y z yz 
在单位球面
S
：
2 2 2 1x y z  
上的最
小值和最大值；
（2）求证：
3
( , , )x y z
成立不等式
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 5 4 6( )x y z x y z yz x y z     
.
8、（ 15 分）证明函数项级数
1
sin
n
nx
n

在开区间
(0,2 )
收敛但不一致收敛.
9、（ 30 分）计算下列积分：

标签： #真题

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