北京师范大学812专业综合2005年真题（高等代数）

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北京师范大学 2005 年高等代数试题
1. (25 分)设矩阵 A=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
和B=
4 0 0
0 0 0
0 0 0
．问 A和B是否相抵、相似、合同？
2. (25 分)设矩阵 A=(2−4
1−3)．证明 A可以对角化，并求过渡矩阵 T，使得 T−1AT 为对角矩阵，
计算 A10．
3. (30 分)设复数域 C上的 5阶矩阵 A的特征多项式为 (λ1)3(λ+ 3)2．
(1) 写出 A的所有可能的互不相似的 Jordan 标准形；
(2) 如果 A的极小多项式为 (λ1)2(λ+ 3)，写出 A的所有可能的互不相似的 Jordan 标准形．
4. (35 分)设V是一个 Euclid 空间．
(1) 若α∈V是一个非零向量，对于 ξ∈V，定义 T(ξ) = ξ−2(ξ, α)
(α, α)α，证明 T是V上的一个
正交变换，且 T2是恒等变换，这时称 T是一个镜面反射；
(2) 对V中任意两个单位向量 α, β，存在一个镜面反射 T，使得 T(α) = β；
(3) V中的每个正交变换 T都可以表示成若干镜面反射的乘积．

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