北京师范大学812专业综合1998年真题（高等代数）

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北京师范大学 1998 年高等代数试题
1. (10 分)设A是数域 F上的 n维线性空间 V上的一个线性变换．证明：
(1) n= dim KerA+ dim Im A；
(2) A的属于不同特征值的特征向量线性无关．
2. (20 分)设f(x)和g(x)是F[x]中的多项式，a, b, c, d ∈F．如果 ad −bc ̸= 0，那么 (af(x) +
bg(x), cf(x) + dg(x))= 1 的充要条件是 (f(x), g(x))= 1．
3. (15 分)下列命题是否正确，错误的请举出反例．
(1) 正交矩阵的行列式等于 1；(2) 不存在奇数阶的可逆反对称矩阵；
(3) 若Euclid 空间中的向量 α1, α2,··· , αn构成一个正交组，则 α1, α2,··· , αn线性无关；
(4) 设A, B 是两个 m×n矩阵，则 rank(A) + rank(B) = rank(A+B)；
(5) 设A, B, C 是n阶方阵，若 C̸= 0 且AC =BC，则 A=B．
4. (20 分)计算下述 n阶行列式：
(1) det
1 2 ··· 2
2 2 ....
.
.
.
.
.......2
2··· 2n
；(2) det
x y 0··· 0
0x y ....
.
.
.
.
..........0
0··· 0x y
y0··· 0x
．

标签： #真题

北京师范大学812专业综合1998年真题（高等代数）.pdf

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