北京师范大学714数学分析2022年真题及答案

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4.5 北京师范大学
4.5.1 2022 年数学分析参考解答
1. 已知 lim
𝑛→+∞ 𝑎𝑛=+∞,证明:lim
𝑛→+∞
𝑎1+𝑎2+ ··· + 𝑎𝑛
𝑛=+∞ 举例说明其逆命题不成立.
证明 因为 lim
𝑛→∞ 𝑎𝑛=+∞,所以 ∀𝑀 > 0,∃𝑁1>0,当𝑛 > 𝑁1时,有
𝑎𝑛>3𝑀
且∃𝑁2, 𝑁3>0,当𝑛 > 𝑁2时,有𝑎1+𝑎2+ ··· + 𝑎𝑁1
𝑛<𝑀
3
当𝑛 > 𝑁3时,有
𝑁1
𝑛<1
3
取𝑁=max {𝑁1, 𝑁2, 𝑁3},则当 𝑛 > 𝑁 时,
𝑎1+𝑎2+ ··· + 𝑎𝑛
𝑛=𝑎1+𝑎2+ ··· + 𝑎𝑁1
𝑛+𝑎𝑁1+1+ ··· + 𝑎𝑛
𝑛
≥𝑎𝑁1+1+ ··· + 𝑎𝑛
𝑛−𝑎1+𝑎2+ ··· + 𝑎𝑁1
𝑛
≥𝑛−𝑁1
𝑛·3𝑀−𝑀
3≥𝑀
可知 lim
𝑛→+∞
𝑎1+𝑎2+ ··· + 𝑎𝑛
𝑛=+∞,反例:
𝑎𝑛=
𝑛, 𝑛为偶数
0, 𝑛为奇数 lim
𝑛→∞
𝑎1+𝑎2+ ··· + 𝑎𝑛
𝑛=+∞,但lim
𝑛→∞ 𝑎𝑛不存在
2. 设𝑓(𝑥, 𝑦)=𝑥3+2𝑥𝑦2
𝑥2+𝑦2,(𝑥, 𝑦)≠(0,0);𝑓(0,0)=0,证明:
(1). 𝑓(𝑥, 𝑦)在(0,0)点连续;
(2). 𝑓(𝑥, 𝑦)在(0,0)点沿任意方向的方向导数都存在;
(3). 𝑓(𝑥, 𝑦)在(0,0)点不可微.
证明 (1) 考察连续的概念:
𝑥3+2𝑥𝑦2
𝑥2+𝑦2−0=|𝑥|𝑥2+2𝑦2
𝑥2+𝑦2≤|𝑥|2𝑥2+2𝑦2
𝑥2+𝑦2=2|𝑥| → 0((𝑥, 𝑦) → (0,0))
故𝑓(𝑥, 𝑦)在原点处连续.
(2) 考察方向导数
𝑓𝑙(0,0)=lim
𝑟→0+
𝑓(𝑟cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃) − 𝑓(0,0)
p(𝑟cos 𝜃)2+ (𝑟sin 𝜃)2
=cos3𝜃+2 sin 𝜃cos 𝜃
沿任何方向的方向导数都存在.
(3) 考算偏导数概念及函数可微性
𝑓0
𝑥(0,0)=lim
Δ𝑥→0
𝑓(Δ𝑥, 0) − 𝑓(0,0)
Δ𝑥=lim
Δ𝑥→0
Δ𝑥
Δ𝑥=1, 𝑓 0
𝑦(0,0)=lim
Δ𝑦→0
𝑓(0,Δ𝑦) − 𝑓(0,0)
Δ𝑦=lim
Δ𝑦→0
0
Δ𝑦=0,

标签： #真题

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